Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理，子集反演）-程序员宅基地

技术标签：组合数学 - 容斥原理（Min-Max容斥）组合数学 - 矩阵树定理

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Luogu P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡（容斥，矩阵树定理）

Problem
在这里插入图片描述
$n\le 17, P = 10^9+7$

Solution

题目就是要求由 $n - 1$ 个公司每个公司一条边建成的生成树的方案数。

显然求生成树的方案数，我们直接用矩阵树定理计算即可。

现在考虑满足 每个公司都只负责一条边的方案数 如何计算。

显然有： $n\le 17 + 计数问题 = \text{容斥}$

我们可以先用矩阵树定理计算 $n - 1$ 个公司包含的所有边集的生成树的个数，显然这里算出来的生成树，不一定 $n - 1$ 个公司都参与了建设，我们用容斥原理减去不合法的即可。

显然就是枚举有多少个公司没有参与建设，然后利用容斥原理奇加偶减，答案减去容斥原理计算出的结果，变成奇减偶加。

我们设 $g (S)$ 为最终的答案，即全集 $S$ 全部被覆盖的情况的方案数。

$f (S)$ 为公司恰好仅为 $S$ 的方案。

显然有：

$g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)$

本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_45697774/article/details/118462513

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