实数

实数：用于算术和测量的普通的数。
实 = real，existing in fact and not imaginary，实际存在的。
arithmetic，calculations involving adding and multiplying, etc. numbers，数加数，数乘数。
measure，to discover the exact size or amount of something，量尺寸或长度。

与复数相对（原书是这么说的，但我觉得确切来说，是和复数中的虚数单元相对）。
复 = complex，involving a lot of different but related parts，复数由实数和虚数单位构成，符合字面意义——不同的部分，但互相关联。
虚 = imaginary，不用解释了，和上面real词义中的not imaginary相对。

根据不同的特征，实数又分几种：

• 整数：一整个的数
  integer = whole number
  whole，complete or not divided
  又分为正数，负数和0
• 有理数：可以表示成 $\frac{p}{q}$ 这种分数形式的数，其中 $p,q$ 都是整数。
  rational：based on reason
  有理数包含所有有限小数或无限循环小数。
  recurring：repeating itself for ever
  注意整数是有理数的一种。
• 剩下的就是无理数。不能像有理数那样表示成分数形式；它们表示成无限不循环小数。
  represent：to show or describe something or someone
  尽管有无数个有理数，但有比这个无数还更无数的无理数，所以无理数到处存在。
  比如边长是单位长度的正方形对角线长$\sqrt{2}$ 是无理数。$\pi ,e$ 也都是无理数。
  从无理数的无限不循环小数中留下一定位数，剩下的舍去，得到一个有限小数，这就是无理数的近似。
• 符号 $\infty$，表示无限，会频繁出现和用到，但不能在代数中作为一个普通数使用。诸如
  $$\begin{gathered} \infty /\infty =1 \\ \infty -\infty =0 \end{gathered}$$
  这样的式子都是不对的。
  举个例子，我们从无限个整数中，取走无限个奇数，那剩下无限个偶数，无限减无限还是无限，不是0。

注：有限小数和无限小数中，有限无限是形容词，finite和infinite，指小数点后位数多少；
符号无限，是名词，infinity，larger than any other number and can never be given an exact value.

幂

数的幂具有 $a^x$ 的形式。幂 $x$ 叫做指数或者指数。
这两个指数分别是exponent和index。
这里假定你知道当x是正数或负数时，分别使用什么规则。并且知道x是分数时，如何与平方根，立方根互相转换。

指数法则
已知$a,b$是任意正实数；$x,y$是任意实数，有

1. $a^x{a}^y=a^{x+y}$
2. $a^0=1$
3. $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
4. $(a^x{)}^y=a^{xy}$
5. $a^x{b}^x=(ab{)}^x(1.1)$
   

根式默认都是正根，若是负根，要加负号。
对于所有指数，$a>0$是必要条件，因为负数没有实数平方根。
如果$a$是负数，那么$a^x$有时是实数，仅当$x=p/q$是最简形式，且$q$是奇数。比如 $(-8{)}^{\frac{1}{3}}=-2$ 因为 $(-2{)}^3=-8$
最简形式 = lowest terms

不等式

说不等之前，先来说什么是相等。
首先相等要和方程区分开来。
语句$x^2+2x+1=0$是方程：只有在特定条件下为真；换句话说，$x$取特定的值，等号两边才相等。
方程 = equations
而
$$\begin{gathered} x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2 \\ si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1 \end{gathered}$$
这些叫做等式，因为对于所有$x,y,A$值，等号两边都相等。
所以有时为了区分，我们用$\equiv$表示等式。

任何包含$⩽,>$的式子叫不等式。
代数类比语言，也拥有自己的‘短语’，就像上面列出的等式，叫做表达式。
通常情况，我们把带等号和不等号的式子都统称为方程。

画一条直线，在线上标一个点O——叫做原点，然后从O开始标定一个刻度。O点右侧正刻度，左侧负刻度。想象这个直线向两侧无限延伸。这叫做数轴。
indicate：to show，point
scale：a set of numbers, amounts, etc., used to measure or compare the level of something
每个实数都能在数轴上标出。我们用x表示一个普通的数。

不等式符号有各自的意义：

如果我们给两个数，那么在数轴上更靠右的数更大。
注意：$2⩽3$也是成立的，因为只需要满足‘或’两种情况的其中一种即可。

数轴上的一小片，或一小段，叫做区间。
segment：one of the smaller groups or amounts that a larger group or amount can be divided into
interval：the space between two points，除此之外，a period between two events or times
区间两端叫做端点。
区间$2⩽x⩽3$表示‘2和3之间，包括2和3的所有值x’。
区间$2<x<3$表示‘2和3之间的所有值x，但不包括2和3’。
还有无限区间，有两种表示：
$$\begin{gathered} x⩾2 \\ 2⩽x<\infty \end{gathered}$$

数的大小（尺寸）用
$$|x|=\{\begin{array}{ll}x& \text{if }x⩾0\\ -x& \text{if }x<0\end{array}$$
表示，叫做x的模数或绝对值。
modulus：the distance from zero of a number on a number line
我们可以用模数表示区间，比如，$|x|<2$定义相同区间$-2<x<2$

自测题

# 在数轴上画出区间
NumberLinePlot[2<x<=4 &&Abs[x]<=3,x]
# 直接得出区间的重叠部分
Reduce[2<x<=4 &&Abs[x]<=3]

x可以取2，3之间的所有数，包括3不包括2。

后篇：平面坐标系