技术标签： 概率论
几何随机变量表示的是重复独立试验直到首次成功的试验次数。现在考虑在同样的背景下，独立重复试验，每次成功的概率为 p ， 0 < p < 1 p，0\lt p\lt 1 p，0<p<1，试验持续进行到试验累计成功 r r r次为止。我们令 X X X表示试验的总次数，则有：
P { X = n } = ( n − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) n − r ， n = r , r + 1 , ⋯ P\{X = n\} = \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r}，n=r,r+1,\cdots P{
X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯
来解释一下这个式子，要想使第 n n n次试验时，恰好第 r r r次试验成功，那么前 n − 1 n-1 n−1次试验中必定有 r − 1 r-1 r−1次试验成功，其概率为：
( n − 1 r − 1 ) p r − 1 ( 1 − p ) n − r \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{n-r} (n−1r−1)pr−1(1−p)n−r
因为试验独立，再乘以第 n n n次试验成功的概率 p p p便得到了上式。
要证明如果试验一直进行，那么最终一定能得到 r r r次成功，则需证明：
∑ n = r ∞ P { X = n } = ∑ n = r ∞ ( n − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) n − r = 1 \sum_{n=r}^\infty P\{X = n\} = \sum_{n=r}^\infty \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r} = 1 n=r∑∞P{
X=n}=n=r∑∞(n−1r−1)pr(1−p)n−r=1
或者从概率论的角度可以通过如下方法证明：得到 r r r次成功所需的试验次数可以分解为 Y 1 , Y 2 , Y 3 , ⋯ , Y r Y_1,Y_2,Y_3,\cdots,Y_r Y1,Y2,Y3,⋯,Yr，其中 Y 1 Y_1 Y1表示第一次成功时试验的次数， Y 2 Y_2 Y2表示第一次试验成功后，直到第二次成功时所需的试验次数， Y 3 Y_3 Y3表示第二次试验成功后，直到第三次成功所需的试验次数，以此类推。因为试验是相互独立的，且每次试验成功的概率都为 p p p，因此 Y 1 , Y 2 , Y 3 , ⋯ , Y r Y_1,Y_2,Y_3,\cdots,Y_r Y1,Y2,Y3,⋯,Yr均为几何随机变量。而几何随机变量 Y i Y_i Yi都是以概率1取有限值，所以 ∑ i = 1 r Y i \sum_{i=1}^r Y_i ∑i=1rYi一定为有限值，得证。
对于任意随机变量 X X X，如果 X X X的概率质量函数由：
P { X = n } = ( n − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) n − r ， n = r , r + 1 , ⋯ P\{X = n\} = \begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r}，n=r,r+1,\cdots P{
X=n}=(n−1r−1)pr(1−p)n−r，n=r,r+1,⋯
给出，那么就称 X X X是参数 ( r , p ) (r,p) (r,p)的负二项随机变量。（几何随机变量恰好是参数为 ( 1 , p ) (1,p) (1,p)的负二项随机变量）
考虑 X k X^k Xk的期望：
E [ X k ] = ∑ n = r ∞ n k ( n − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) n − r E[X^k] = \sum_{n=r}^\infty n^k\begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}p^r(1-p)^{n-r} E[Xk]=n=r∑∞nk(n−1r−1)pr(1−p)n−r
由于 n ( n − 1 r − 1 ) = r ( n r ) n\begin{pmatrix}n-1 \\r-1\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} n(n−1r−1)=r(nr)，替换上式得：
E [ X k ] = r p ∑ n = r ∞ n k − 1 ( n r ) p r + 1 ( 1 − p ) n − r E[X^k] = \cfrac{r}{p}\sum_{n=r}^\infty n^{k-1}\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} p^{r+1}(1-p)^{n-r} E[Xk]=prn=r∑∞nk−1(nr)pr+1(1−p)n−r
换个元令 m = n + 1 m = n+1 m=n+1得：
E [ X k ] = r p ∑ m = r + 1 ∞ ( m − 1 ) k − 1 ( m − 1 r ) p r + 1 ( 1 − p ) m − 1 − r E[X^k] = \cfrac{r}{p}\sum_{m=r+1}^\infty (m-1)^{k-1}\begin{pmatrix}m-1\\r\end{pmatrix} p^{r+1}(1-p)^{m-1-r} E[Xk]=prm=r+1∑∞(m−1)k−1(m−1r)pr+1(1−p)m−1−r
仔细观察右半边发现右半边的形式其实就是 X k − 1 X^{k-1} Xk−1的期望形式，则有：
E [ X k ] = r p E [ ( Y − 1 ) k − 1 ] E[X^k] =\cfrac{r}{p}E[(Y-1)^{k-1}] E[Xk]=prE[(Y−1)k−1]
其中 Y Y Y是参数为 ( r + 1 , p ) (r+1,p) (r+1,p)的负二项随机变量。令 k = 1 k = 1 k=1我们便得到了期望 E [ X ] E[X] E[X]：
E [ X ] = r p E[X] = \cfrac{r}{p} E[X]=pr
再领 k = 2 k=2 k=2我们根据地推关系可以得到 E [ X 2 ] E[X^2] E[X2]：
E [ X 2 ] = r p ( r + 1 p − 1 ) E[X^2] = \cfrac{r}{p} (\cfrac{r+1}{p}-1) E[X2]=pr(pr+1−1)
因此根据方差与期望的关系， V a r ( X ) Var(X) Var(X)为：
V a r ( X ) = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = r p ( r + 1 p − 1 ) − r p = r ( 1 − p ) p 2 Var(X) = E[X^2]-E[X] ^2 = \cfrac{r}{p} (\cfrac{r+1}{p}-1)-\cfrac{r}{p} = \cfrac{r(1-p)}{p^2} Var(X)=E[X2]−E[X]2=pr(pr+1−1)−pr=p2r(1−p)
我们说几何随机变量恰好是参数为 ( 1 , p ) (1,p) (1,p)的负二项随机变量，那么将 r = 1 r=1 r=1带入上面的期望和方差后，观察发现得到的结果就是几何随机变量的期望和方差。
参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross
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